集合論宇宙についてのメモ

■「集合全体の集まり」を「宇宙(universe)」と呼びしばしば{\mathbf{V}}などと書く.ただし,「宇宙」という言葉はもう少し小さな「集合」を指すために使われることもある.以下ではZFCにおける「集合全体の集まり」の意味で{\mathbf{V}}という文字を使う.ところで,なぜ”V”なのかというと,ドイツ語のVollraumから来ているらしい.voll(いっぱいの)/raum(空間) と分解すれば意味は取れる.

{\mathbf{V}}が集合ではないことは,少なくとも二つの方法で示せる.最初に基礎の公理を使う方法を示し,次に分出公理図式を使うものを示す.

■基礎の公理を用いた証明.
基礎の公理は次のようなものであった:
{\forall x \enskip \left(x \not= \varnothing  \Rightarrow \exists y \in x \enskip \forall t \in x \enskip (t \not\in y)\right).}

さて,{\mathbf{V}}が集合であったと仮定すると{X:= \left\lbrace  \mathbf{V}\right\rbrace}も集合である.この{X}に基礎の公理を適用すると{\mathbf{V}\not\in \mathbf{V}}が得られるが,{\mathbf{V}}はすべての集合を含んでいるのだからこれはおかしい.よって,{\mathbf{V}}が集合として存在するという仮定から矛盾が導かれたことになる.よって{\mathbf{V}}は集合ではない.

■分出公理図式を用いた証明.
分出公理図式は無限個の公理の総称であり,ある集合から部分集合を作ることを可能にする.(分出公理図式は置換公理図式から導くことも可能であり,ZFCの公理群に含めない場合もあるが,何れにせよZFCでは分出「公理」図式は使用可能である).

{\mathrm{V}}が集合だと仮定すると,分出公理図式から{W:=\left\lbrace x \in \mathbf{V} \mid x \not\in x \right\rbrace}も集合となり,特に{W\in \mathbf{V}}である.すると,{W \in W}であると同時に{W \not\in W}であることが導かれてしまう(床屋のパラドックス).よって{\mathbf{V}}は集合ではあり得ない.

■余談
しばしば,{\mathbf{V}}が集合ではないことの直感的な説明として,「{\mathbf{V}}は集合に収まるには巨大過ぎる」と説明されることがある.

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